EPFLx: Analyse I (partie 3) : Suites de nombres réels I et II

Une suite de nombres réels est une fonction f:N→R . Il est habituel d'écrire an:=f(n) pour la valeur de f en n. Par exemple, on pourrait définir une suite f(n):=an:=12n, c'est-à-dire a0=1,a1=12,a2=14,a3=18,... . Le concept central est celui de la limite d'une suite : c'est un nombre réel auquel, intuitivement, la suite donnée s'approche de plus en plus. Par exemple la suite an donnée en haut admet comme limite le nombre zéro. Nous définirons le concept de la limite d'une manière rigoureuse et développerons des méthodes pour établir l'existence d'une limite. En plus, nous découvrirons un lien entre le concept de la limite et celui de l'infimum et du supremum d'un ensemble. Une application très importante des suites de nombres réels est le fait que chaque nombre réel peut être considéré comme la limite d'une suite de nombres rationnels. Nous verrons comment obtenir le nombre irrationnel racione de 5 comme limite d'une suite de nombres rationnels. Nos étudions le concept des suites de Cauchy et des suites définies par récurrence linéaire. Nous montrons certaines propriétés des suites définies par récurrence linéaire, en faisant en lien avec les suites de Cauchy. Nous nous intéressons aux limites des suites et des sous-suites, ce qui nous amène au théorème de Bolzano-Weierstrass. A l'aide des suites, nous définissons aussi le concept des séries numériques que nous illustrons à l'aide de différents exemples. Nous définissons certains critères de convergence pour les séries, notamment le critère de d'Alembert, le critère de Cauchy, le critère de comparaison et le critère de Leibniz. Finalement, nous étudions les séries numériques avec un paramètre.